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让我们学习一下，当对手先走时该如何赢得比赛的魔法和数学。
大多数让两名玩家或两支队伍相互竞争的游戏都要求其中一方先出场。这就产生了内在的不对称性，于是就产生了一个问题：你应该选择先出场还是后出场？
大多数人本能地想要先走，这种直觉通常被证实是有效。在常见的双人游戏中，如国际象棋或网球，“掷硬币获胜”并获得先手的确是一种优势，虽然这种优势不算大。但有时让对方先走会对你更有利。
下面我们将展示三种不同的情况，在这些情况下，被迫移动的游戏规则会成为一个严重的、往往是决定性的劣势。在国际象棋中，这被称为“zugzwang”——一个德语单词，意思是“迫移”（国际象棋中，Zugzwang描述这样一种情况：无好棋可走，只能走出对自己不利的一步）。让我们看看在下面这些场景中，“迫移”的神奇魔力是如何实现的。
谜题1：国际象棋
在1971年的世锦赛候选棋手比赛中，执白棋的美国特级大师鲍比·菲舍尔(Bobby Fischer)和执黑棋的苏联特级大师马克·泰马诺夫(Mark Taimanov)在第二局比赛中产生了下图的局势。这时轮到黑棋移动了，但不幸的是黑棋在“迫移”中输掉了比赛。现在我们的任务就是解释为何会出现这样的结果。
如果我们比较双方的棋子：白棋有一个象(f5)，黑棋有一个马(g5)，它们都无法决定胜利。但白棋有一个兵(h5)可以前进到棋盘的顶部，成为后。如果发生这种情况，白棋轻松获胜。所以黑棋的任务很明确：泰马诺夫必须拿下白棋的兵，即使这意味着牺牲他的马。这将导致平局，是黑棋的最好结果。
乍一看，黑方的马似乎在夺取白棋的兵时处于有利位置：马受黑方王(f4)的保护，控制着h7方阵，白棋的兵必须通过这个方阵才能被提升。
现在，“迫移”的“移动义务”准备动手：虽然泰马诺夫满足于让他的马在g5位置上。但不幸的是，国际象棋的规则要求他必须移动一步他的棋子。如果他移动了他的王，它就不能再保护马，马就会死亡，而白方的兵可以自由前进；另一方面，如果他将马移动到唯一安全的方格f3，然后白方将他的兵推到h6，那么黑方可以在接下来的移动中将马移回g5。这可以防止菲舍尔立即将兵推进到h7。但是，这时候白棋同样可以使用秘密武器“迫移”：他可以等待一步，将他的王滑到g6，此时便又轮到黑棋必须移动了。这样，泰马诺夫真的没有可行的选择了。
如果黑棋移动王，那么他的马就会倒下。如果泰马诺夫把他的马移动到f3，白棋的兵前进到h7，游戏结束。（如果他把他的马移动到其他地方，白方的象或王就会抓住它，游戏也就结束了）简而言之，这就是“迫移”的力量。
不用说，菲舍尔赢了这场比赛。然后在第4场比赛中，他让塔塔诺夫陷入了一个更复杂的迫移，最终以6-0横扫了比赛。菲舍尔在1972年击败苏联特级大师鲍里斯·斯帕斯基(Boris Spassky)成为世界冠军，这场比赛被称为“世纪之战”。
谜题2：尼姆游戏
在一个尼姆游戏（Nim）的衍生游戏中，两个玩家A和B，玩一个减法游戏。B选择一个起始数字，每个玩家依次减去一个小数字，直到他们的数字为零。在每一轮中，玩家必须至少减去1，最多比当前数字的十位数字多1。因此，如果当前数字在90到99之间，则可以减去10以内的任何数字;如果是80到89，可以减1到9，以此类推。最后，当剩下的数字在1到9之间时，他们每轮只能减去1。A先走，B从90到99中选择一个起始数字。玩家在做最后一次减法时失败。
问题：B应该选择什么起始号码？你能列出全部的“迫移”阶梯数吗？
对于这一问题，我们可以从最小的数开始考虑：
- 如果A轮到1时，就会输掉比赛。同样地，由于在个位数中只能减去1，A在面对3、5、7和9（每次加2）时都会输。
- 但是A在轮到11时不会输，因为A在11上可以减去2，把会输的9给B。但A在轮到15和18（每次加3）时则会输掉。
- 现在，我们考虑20~30，我们不能再加3了，因为在21，A可以减去3，把会输的数字18给B，我们必须加4，获得：22，26。
- 当我们跳到30时，我们必须加上5：31，36。
- 十位数为4时需要加6：42，48。
- 依次排列下去：每进入一个更高的十位数，我们就得再增加1，才能继续登上“迫移”阶梯。
- 整个迫移阶梯，从高到低：93、82、72、63、55、48、42、36、31、26、22、18、15、12、9、7、5、3、1。
谜题3：模拟游戏
模拟游戏（Sim）是两个玩家之间的游戏——我们称他们为小红和小蓝。这个游戏如图所示，由6个点组成，每个点之间用黑线连接（在图论中称为边）。每个玩家依次用自己名字的颜色将黑线涂成红或蓝。如果一个玩家的操作导致任何三个点由相同颜色的边连接，该玩家就输了。
问：你能描述一下在最短的模拟游戏中，使玩家处于“对等迫移(reciprocal zugzwang)” （ 下一个玩家输）的位置吗？按顺序列出在游戏中所做的动作。
这里是一个模拟的局势，其中的对等迫移位置在九步内达到。
可以产生此局面的操作顺序为AB、BE、AC、CE、AD、DE、AF、FE、AE。这样就剩下6条未着色的边:BC、BD、BF、CD、CF和DF。将它们中的任何一个涂成红色或蓝色都会出现一个三条边颜色相同的三角形，如下表所示：
因此，下一个要操作的玩家（在这种情况下的蓝色玩家）将处于迫移困境中并输掉比赛。为了理解我们是如何达到这个情形的，考虑由BACE四个点组成的四边形。它有两条相邻的红色边AB和AC，以及两条相邻的蓝色边BE和CE。所以不管BC边 （四边形的对角线）是什么颜色，它都会形成一个相同颜色的三角形。你可以把这样一组缺边的四个点想象成一个单一的“迫移单元”。在这个位置上有六个这样的单元，每个单元对应着六条未着色的边中的一条。
由于不完美的发挥，蓝队在比赛早期就达到了这种情况。在模拟游戏中，无论前玩家做了什么，后一名玩家总会有获胜策略。这里，我们的策略是避免创建迫移四边形(zugzwang quadrilaterals)——除非有两个四边形的共同边是没有颜色的。图中正好有“6选2”（ 一共15）条边，所以第15步（ 最后一步）总是落在第一个玩家的手上。拉姆齐理论(Ramsey Theory)告诉我们：如果有六个点，那么至少会有两个三角形，它们的边都是相同的颜色。在完美的玩法中，第二名玩家应该能够将单色三角形的创造推迟到最后一步。这将诱使第一个玩家用最后一条边形成两个单色三角形。
作者：Pradeep Mutalik
翻译：C&C
审校：zhenni
原文有删改
fu
li
shi
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【互动问题：你还知道哪些游戏中的制胜策略呢？】
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翻译内容仅代表作者观点
不代表中科院物理所立场
编辑：zhenni
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